Exercícios - Equação Elementar

Questões:

01. A idade de dona Helena é igual à soma dos números de filhos e netos que ela tem. Cada um de seus filhos tem tantos filhos quantos são seus irmãos. Sabendo-se que dona Helena tem entre 70 e 85 anos, podemos concluir que sua idade, em anos, é:

a) 72
b) 75
c) 78
d) 80
e) 81


02. Uma pessoa colocou, em três montes alinhados, a mesma quantidade de bolinhas. Em seguida, fez as seguintes operações: retirou de cada um dos montes laterais 3 bolinhas e colocou-as no monte do meio. Depois, retirou do monte do meio tantas bolinhas quantas ficaram no monte da esquerda. Desse modo, o monte do meio ficou com:

a) 9 bolinhas;
b) 15 bolinhas;
c) um número par de bolinhas;
d) tantas quantas em cada monte lateral;
e) não se pode determinar a quantidade, pois faltam dados.


03. Um estudante precisa de n dias para ler um livro de 270 páginas, lendo p páginas por dia. Se ele ler p + 15 páginas por dia, levará n – 3 dias na leitura. O valor de n + p é:

a) 35
b) 39
c) 54
d) 42
e) 72


04. Na equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, os números a e c têm sinais contrários. Pode-se afirmar que:

a) A equação tem duas raízes reais de sinais contrários.
b) A equação tem duas raízes reais positivas.
c) A equação tem duas raízes reais negativas.
d) A equação pode não ter raízes reais.
e) n.d.a.


05. Uma equação do 2º grau, cujo conjunto-verdade é {a, -b}, é:

a) 3x2 + x – 2 = 0
b) 9x2 + 3x – 2 = 0
c) 9x2 – 3x + 2 = 0
d) 9x2 – 3x – 2 = 0
e) 2x2 – 9x – 3 = 0


06. A equação mx2 + 4x + m = 0 não admite raízes reais se:

a) m = 0
b) –2 < m < 2
c) –4 < m < 4
d) m < -2 e m > 2
e) m < -2 ou m > 2


07. (UNICID) O valor de m, para que uma das raízes da equação x2 + mx + 27 = 0 seja o quadrado da outra é:

a) -3
b) -9
c) -12
d) 3
e) 6


08. Qual é o número que se deve subtrair de cada fator do produto 5 x 8 para que esse produto diminua de 42?

a) 6 ou 7
b) 2 ou -1
c) -20 ou 2
d) 3 ou -14
e) 4 ou 40


09. (PUC) Um professor propôs aos seus alunos a resposta de certa equação do 2° grau. Um dos alunos copiou errado apenas o coeficiente do termo do 1° grau e encontrou as raízes 1 e -3; outro, copiou errado apenas o termo constante, encontrando as raízes -2 e 4. Resolva a equação original, proposta por aquele professor.


10. (PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:

a) a2 - 2b
b) a2 + 2b
c) a2 - 2b2
d) a2 + 2b2
e) a2 - b2



Resolução:

01. E 02. A 03. B 04. A
05. B 06. E 07. C 08. A


09. V = {-1; 3}

10. A

Exercícios - Equação Algébrica

Questões:

01. (VUNESP) Assinale a alternativa que indica o polinômio que possui os números 0 e 1 como raízes, sendo 0 uma raiz de multiplicidade 3:

a) p(x) = x (x3 - 1)
b) p(x) = x (x - 1)3
c) p(x) = x3 (x - 1)
d) p(x) = (x3 - x) (x - 1)
e) p(x) = x (x3 + x2 - 2)


02. (PUCCAMP) Sabe-se que a equação 2x3 + x2 - 6x - 3 = 0 admite uma única raiz racional e não inteira. As demais raízes dessa equação são:

a) inteiras e positivas;
b) inteiras e de sinais contrários;
c) não reais;
d) irracionais e positivas;
e) irracionais e de sinais contrários.


03. O polinômio de coeficientes inteiros, de menor grau possível, que tem como raízes 2 e i, pode ser:

a) x3 - 2x2 - x + 2
b) x2 + (2 - i) x - 2
c) x2 - (2 + i) x + 2i
d) x3 - 2x2 + x - 2
e) x3 + x2 - x - 2


04. (FUVEST) A equação x3 + mx2 + 2x + n = 0, em que m e n são números reais, admite 1 + i (i sendo a unidade imaginária) como a raiz. Então m e n valem, respectivamente:

a) 2 e 2
b) 2 e 0
c) 0 e 2
d) 2 e -2
e) -2 e 0


05. Sabe-se que o número complexo i é solução da equação x4 - 3x2 - 4 = 0. Então:

a) essa equação tem uma solução de multiplicidade 2;
b) as soluções dessa equação formam uma progressão;
c) a equação tem duas soluções reais irracionais;
d) a equação tem 2 soluções reais racionais;
e) a equação não tem soluções reais.


06. Determinar a sabendo-se que 2 é raiz da equação x4 - 3x3 + 2x2 + ax - 3 = 0.


07. Resolver a equação x4 - 5x2 - 10x - 6 = 0, sabendo-se que duas de suas raízes são -1 e 3.


08. Resolver a equação x3 - 3x2 - x + 3 = 0, sabendo-se que a soma de duas raízes é zero.


09. Sabendo-se que 1 é a raiz da equação x3 - 2x2 + ax + 6 = 0, determinar a e as demais raízes da equação.


10. Sendo P(x) um polinômio de 5° grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 0, obter o conjunto-verdade da equação P(x) - 1 = 0 e o valor de P(0).



Resolução:
01. C 02. E 03. D 04. E
05. D


06. a = 3/2

07. V = {-1; 3; -1 + 1; -1 - i}

08. O conjunto-verdade da equação é {-1; 1; 3}

09. a = -5 e as demais raízes são -2 e 3.

10. V = {1; 2; 3; 4; 5} e P(0) = 2

Exercícios - Determinantes

a) 64
b) 8
c) 0
d) -8
e) -64


02. Para que o determinante da matriz 1+a -1
3 1-a
seja nulo, o valor de a deve ser:

a) 2 ou -2
b) 1 ou 3
c) -3 ou 5
d) -5 ou 3
e) 4 ou -4

a) não se define;
b) é uma matriz de determinante nulo;
c) é a matriz identidade de ordem 3;
d) é uma matriz de uma linha e uma coluna;
e) não é matriz quadrada.


04. Sabendo-se que o determinante associado á matriz 1 -11 6
-2 4 -3
-3 -7 2
é nulo, concluímos que essa matriz tem:

a) duas linhas proporcionais;
b) duas colunas proporcionais;
c) elementos negativos;
d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas;
e) duas filas paralelas iguais.


05. (UESP) Se o determinante da matriz p 2 2 é igual a -18,
p 4 4
p 4 1
então o determinante da matriz p -1 2 é igual a:
p -2 4
p -2 1
a) -9
b) -6
c) 3
d) 6
e) 9


06. (UESP) Se o determinante da matriz 2 1 0 é igual a 10,
k k k
1 2 -2
então o determinante da matriz 2 1 0
k+4 k+3 k-1
1 2 -2
é igual a:

a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11


07. Calcular o determinante da matriz M= 1 5 2 aplicando o
4 8 3
1 2 -1
Teorema de Laplace e utilizando a 3º coluna.




a) 2
b) 1
c) -1
d) -2
e) 3





a) x > 2
b) 0 < x < 5
c) x < -2
d) x > 5
e) 1 < x < 2





a) -4
b) -2
c) 0
d) 1
e) 1131



Resolução:
01. D                02. A                    03. B                      04. D
05. E                06. C                    07. det M = 21
08. D                09. C                   10. C

Exercícios - Conjuntos

Questões:

01. Assinale a FALSA:

a) Ø Ì{3}
b) {3}Ì{3}
c) Ø Ï{3}
d) 3 Î{3}
e) 3 = {3}


02. (PUC) Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}} podemos afirmar:

a) B Ì A
b) A = B
c) A ÎB
d) a = A
e) {A}ÎB


03. (FATEC) Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = {ab | a ÎA, b ÎA e a ¹ b}, o número de elementos de B que são números pares é:

a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 13


04. (UnB) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número máximo de subconjuntos distintos é:

a) 21
b) 128
c) 64
d) 32
e) 256

      
05. (FEI) Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, então o valor de n é:

a) 127
b) 125
c) 124
d) 120
e) 110


06. No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se  que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:

a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?
b) Quantos cariocas foram ao estádio?
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?
h) Quantos eram corintianos ou paulistas?
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?


07. (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi:

a) 800
b) 720
c) 570
d) 500
e) 600


08. (UF - Uberlândia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é:

a) 25%
b) 50%
c) 15%
d) 33%
e) 30%


09. (VUNESP) Uma população utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo:

Marcas	A	B	C	A e B	A e C	B e C	A, B e C	Nenhuma delas
Número de Consumidores	109	203	162	25	28	41	5	115

Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é: 

a) 99
b) 94
c) 90
d) 84
e) 79


10. (UF - Viçosa) Fez-se em uma população, uma pesquisa de mercado sobre o consumo de sabão em pó de três marcas distintas A, B e C. Em relação à população consultada e com o auxílio dos resultados da pesquisa

tabelados abaixo:

Marcas	A	B	C	A e B	A e C	B e C	A, B e C	Nenhuma delas
Número de Consumidores	109	203	162	25	28	41	5	115

Determine:

a) O número de pessoas consultadas.
b) O número de pessoas que não consomem as marcas A ou C.
c) O número de pessoas que consomem pelo menos duas marcas.
d) A porcentagem de pessoas que consomem as marcas A e B mas não consomem a marca C.
e) A porcentagem de pessoas que consomem apenas a marca C.


Resolução:

01. E

02. E

03. C

04. B

05. A

06. a) 80.000
       b) 16.000   
       c) 85.000
       d) 15.000
       e) 80.000
       f) 5.000
       g) 20.000
       h) 89.000
       i) 96.000

07. D

08. E

09. D

10. a) 500
       b) 257
       c) 84
       d) 4%
       e) 19,6%

Exercícios - Binômio de Newton

Questões:

01. (UNESP) Se n é um número inteiro positivo, pelo símbolo n! subentende-se o produto de n fatores distintos, n . (n - 1) . (n - 2) ... 2 . 1. Nestas condições, qual é o algarismo das unidades do número (9!8!)7!?

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4


Para as questões 02 a 05 - Utilizando o Teorema do Binômio de Newton, desenvolver:


02. (x + y)3


03. (x - y)4


04. (2x + 1)5


05. (x - 2)6



06. Calcular o quarto termo do desenvolvimento de (x2 + 2)10, feito segundo os expoentes decrescentes de x.


07. (CESGRANRIO) O coeficiente de x4 no polinômio P(x) = (x + 2)6 é:

a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24


08. Calcular a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (3x + 2y)5.


09. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (x - y)104 é:

a) 1
b) -1
c) 0
d) 104
e) 2


10. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (3x - 2y)n é:

a) 1
b) -1
c) 2
d) 2n
e) -2n



Resolução:

01. A

02. x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

03. x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4

04. 32x5 + 80x4 + 80x3 + 40x2 + 10x + 1

05. x6 - 12x5 + 60x4 - 160x3 + 240x2 - 192x + 64

06. 960 . x14


07. B             08. 3125                09. C                       10. A

Exercícios - Análise Combinatória

01. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?

a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16


02. (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?

a) 120
b) 72
c) 24
d) 18
e) 12


03. (MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado com uma única cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é:

a) 100
b) 240
c) 729
d) 2916
e) 5040


04. (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?

a) 861
b) 1722
c) 1764
d) 3444
e) 242


05. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O número de equipes de trabalho que poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é:

a) 240
b) 360
c) 480
d) 600
e) 720


06. (MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:


a) 83
b) 84
c) 85
d) 168
e) 169


07. (MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é:

a) 120
b) 108
c) 160
d) 140
e) 128


08. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?

a) 90
b) 21
c) 240
d) 38
e) 80


09. (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é:

a) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56


10. (MACK) Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
c) 122



Resolução:
01. C 02. C 03. D 04. B
05. E 06. E 07. A 08. A
09. E 10. C

Exercicios - Fatoração

Questões:

01. Fatorar: (a + b) . x + 2(a + b)


02. Fatorar: (x + y)2 - (x - y)2


03. Fatorar: x4 - y4


04. Fatorar: 25x2 + 70x + 49


05. Calcular 2 4992


06. Dado que x = a + x-1, a expressão x2 + x-2 é igual a:

a) a2 + 2
b) 2a + 1
c) a2 + 1
d) 2a -1
e) a2


07. (PUC) Sendo x3 + 1 = (x + 1) (x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, respectivamente:

a) -1 e -1
b) 0 e 0
c) 1 e 1
d) 1 e -1
e) -1 e 1


08. Decomponha em fatores do primeiro grau: 6x2 - 5xy + y2


09. (FUVEST) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine:

a) O produto dos dois números.
b) A soma dos dois números.


10. (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8



Resolução:

01. (a + b) . (x . 2)

02. 4xy

03. (x2 + y2) . (x + y) . (x - y)

04. (5x + 7)2

05. 6 245 001

06. A 07. E

08. (3x - y) . (2x - y)

09. a) 2


10. C