a.r=5cm b.r=3,5cm c.r=3kcm d.r=a/2cm
2- Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?
3- Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de 66 metros.
4- Dado um quadrado de perímetro 4L, obter: (a) O raio da circunferência inscrita neste quadrado. e (b) O raio da circunferência circunscrita ao quadrado.
5- No R², uma circunferência tem centro no ponto (2,1) e passa pelo ponto (5,-3). Qual é o comprimento da circunferência?
2- Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?
3- Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de 66 metros.
4- Dado um quadrado de perímetro 4L, obter: (a) O raio da circunferência inscrita neste quadrado. e (b) O raio da circunferência circunscrita ao quadrado.
5- No R², uma circunferência tem centro no ponto (2,1) e passa pelo ponto (5,-3). Qual é o comprimento da circunferência?
5- Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio r ou o diâmetro d.a.r=3cm b.d=3kR[2]cm c.r=2R[3]cm d.d=9cm
6- Calcular a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm.
7- Se os perímetros de dois círculos são proporcionais à razão 2:3, qual é a razão entre as áreas desses círculos?
8- Qual é a área do círculo circunscrito em um triângulo equilátero cujo lado mede 18 cm?
9- Se a razão entre as áreas de dois círculos é 3:1, qual é a área do círculo menor se a área do círculo maior é 27pi cm²?
10-Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a metade de sua área removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta borda?
11- Um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm está inscrito em uma circunferência. Calcular a área da região externa ao triângulo que está dentro da circunferência.
12- Mostre que no hexágono regular o raio e o lado são congruentes, isto é, têm a mesma medida.
13- Considere um hexágono regular cuja área é 48R[3]cm². Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.
14- Dado um hexágono regular com área 48k²R[3]cm². Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.
15- As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Qual é a área do círculo inscrito neste losango?
16- Na figura ao lado, calcular a área e o perímetro do setor circular se o raio da circunferência mede 12cm e o arco 60 graus.
17- Dada uma circunferência cujo raio mede 6 cm, calcular: (a) A área do setor circular cujo arco A subjacente mede 120 graus e (b) A área do segmento circular cujo arco A mede 120 graus.
18- Seja um triângulo equilátero cujo lado mede 2a. Ao traçar arcos de circunferências de raio a, centrados nos três vértices do triângulo, obtemos a região colorida como a da figura ao lado. Calcular a área desta região.
19- Sobre cada cateto de um triângulo retângulo traçamos uma semicircunferência de acordo com a figura ao lado. Mostre que a soma das áreas das lúnulas (pintadas de azul e verde) é igual a área do triângulo.
20- Semicircunferências são traçados sobre os lados de um quadrado cujo lado mede 10 cm. Calcular a área das quatro pétalas pintadas na figura ao lado.
21- Semicircunferências são traçados sobre dois lados de um quadrado cujo lado mede 6 cm. Calcular a área da região pintada na figura ao lado.
22- Dois círculos cujos raios medem 4 cm e 12 cm, estão lado a lado, como mostra a figura. Qual é a medida da menor correia de couro que contorna os dois círculos?
23- Duas circunferências de centros O e O' têm raios medindo 3 cm e 2 cm, respectivamente, e a medida m(OO')=13 cm. Se a reta t é uma tangente comum às duas circunferências nos pontos A e B, calcular a medida do segmento AB.
24- Calcular a área da região colorida, sabendo-se que cada semicírculo possui o diâmetro igual ao raio do círculo imediatamente maior
.
Respostas:
Solução do exercício 1
raio= 5 cm, comprimento = 10 pi cm
raio= 7/2 cm, comprimento = 7 pi cm
raio= 3k cm, comprimento = 6k pi cm
raio= a/2 cm, comprimento = a pi cm
2- 96 pi metros
3- r= 5,5 pi metros
Solução do exercício 4
(a) O lado do quadado mede L e o raio da circunferência inscrita é a metade do lado, isto é r=L/2.(b) O raio da circunferência circunscrita é a metade da diagonal do quadrado de lado L;
r²=2(L/2)²=L²/2
r=L R[2]/2
Solução do exercício 5
O raio da circunferência é a distância entre o centro (2,1) e o ponto (5,-3). Pelo teorema de Pitágoras temos:r²=(5-2)²+(-3-1)²=9+16=25
r=5
O comprimento da circunferência é 2×5×pi=10 pi unidades
Solução do exercício 6
r=3 cm, A=9 pi cm²
d=3k R[2] cm, A=½×9×k² pi cm²
r=2R[3] cm, A=12 pi cm²
d=a/2 cm, A=81/4 pi cm²
Solução do exercício 7
Na figura a região está pintada de verde e sua área é a área do círculo maior menos a área do círculo menor.Área=pi(R²-r²)=pi(100-36)=64 pi cm²
8- A razão é 4:9
Solução do exercício 9
Na figura ao lado, seja a o apótema, r o raio e h a altura do triângulo então, h=a+r.18²=h²+9²
h=R[324-81]=R[243]=9 R[3]
Por outro lado, r²=9²+(h-r)²=81+h²-2hr+r²
81+243-2×9 R[3]×r=0
r=18/R[3]
Área do círculo = pi×r²=108 pi cm²
10- 3 cm quadrados
11- Largura =(6-3R[2]) metros
Solução do exercício 12
A área da região é a área do círculo menos a área do triângulo (região rosa). Se a é o apótema, r é o raio e h é a altura do triângulo, então h=a+r. Assim: 6²=h²+3²h=R[36-9]=R[27]=3 R[3]
r²=3²+(h-r)²
9+27-2×3×R[3]×r=0
r=6/R[3]
Área do círculo = pi r²=12 pi cm²
Área do triângulo = 6×h/2=6.3 R[3]/2 = 9 R[3] cm²
Área do círculo - Área do triângulo = (12 pi - 9 R[3]) cm²
13- Dividir o hexágono em 6 com o vértices no centro e mostra que eles são equilátero.
Solução do exercício 14
O círculo inscrito ao hexágono tem raio igual ao seu apótema (a). O círculo circunscrito ao hexágono tem raio igual ao seu raio (r).Sejam A1 e A2 as áreas dos círculos inscrito e circunscrito respectivamente, a razão entre estas áreas é dada por: A1/A2=pi a²/pi r²=a²/r².
A área do hexágono é dada por: A=3×a×L=48 R[3]
Assim o apótema é dado por a=48R[3]/3L. Mas o apótema do hexágono é a altura do triângulo equilátero, deste modo,
a=½×L×R[3]=48R[3]/3L=½×L×R[3]
L²=(2/3)48
L=4 R[2] cm
No hexágono regular L=r. Logo, a razão entre as áreas é:
A1/A2=a²/r²=((1/2).r.R[3]/r)²=(R[3]/2)²=3/4
15- A razão entre as áreas são 3/4
16- As áreas são 11,84 cm quadrados
Solução do exercício 17
Seja A a área e P o perímetro do setor circular, então
A=m(AB)×pi×r²/360=60×pi×12²/360=24 pi cm²
P=m(AB)×2pi×r/360+2r=60×2pi×12/360+24=(4pi+24)cm
Solução do exercício 18
(a) A área do setor circular é dado por
Área do setor=m(A)×pi×r²/360=120×pi×6²/360=12pi cm²
(b) A área do segmento é dada pela área do setor menos a área do triângulo
Área do triângulo=6 R[3] 3/2=9 R[3] cm²
Área do segmento=(12 pi - 9 R[3]) cm²
Solução do exercício 19
A área desejada é a área do triângulo menos a soma das áreas dos três setores circulares.
Se 2a é a medida do lado do triângulo, então;
Área do triângulo=(2a)²R[3]/4=a²R[3] u.a.
Área do setor circular=60.pi.(a)²/360=pi.a²/6 u.a.
Área desejada=a²R[3] - 3.pi.a²/6=a²(R[3] - pi/2) u.a.
Solução do exercício 20
Sejam a e b os catetos e c a hipotenusa do triângulo.
Sejam Sa, Sb e Sc os semicírculos de raios a/2, b/2 e c/2 respectivamente e seja T o triângulo.
Soma das áreas brancas=área(Sc)-área(T)
Áreas das lúnulas=área(Sa)+área(Sb)-Soma das áreas brancas.
Áreas das lúnulas=área(Sa)+área(Sb)-área(Sc)+área(T)
Área(Sc)=pi.(c/2)²/2=pi(a²+b²)/8
Área(T)=a.b/2
Soma das áreas brancas=pi(a²+b²)/8-a.b/2
Área(Sa)=pi(a/2)²/2=pi.a²/8
Área(Sb)=pi(b/2)²/2=pi.b²/8
Áreas das lúnulas = pi(a²+b²)/8-(pi(a²+b²)/8-a.b/2)=a.b/2
A soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo.
Solução do exercício 21
A soma das áreas dos quatro semicírculos é a área do quadrado mais a área das quatro pétalas, então a área desejada é a diferença entre a soma das áreas dos quatro semicírculos e a área do quadrado.
Área semicírculo=(1/2)pi(10/2)²=12,5.pi cm²
Área quadrado=(10)²=100 cm²
A área desejada é a Área do semicírculo menos a Área quadrado, assim
Área desejada=(4(12,5 pi)-100=(50pi-100) cm²
Solução do exercício 21
A soma das áreas dos quatro semicírculos é a área do quadrado mais a área das quatro pétalas, então a área desejada é a diferença entre a soma das áreas dos quatro semicírculos e a área do quadrado.
Área semicírculo=(1/2)pi(10/2)²=12,5.pi cm²
Área quadrado=(10)²=100 cm²
A área desejada é a Área do semicírculo menos a Área quadrado, assim
Área desejada=(4(12,5 pi)-100=(50pi-100) cm²
22- Área = 27 - 4,5 pi cm quadrado
Solução do exercício 23
Devemos obter a medida do segmento AB e as medidas dos ângulos BED e ADE. Dessa forma: DE=12+4=16cm e CE=12-4=8cm. Como m(AB)=m(DC) e o triângulo retângulo DCE tem ângulo reto em C, temos que:(DC)²=(DE)²-(CE)²
m(OC)=R[256-64]=8 R[3]
ângulo(BO'O)=arccos(8/16)=arccos(1/2)=60o
ângulo(BO'O)+ângulo(AOO')=180o
ângulo(AOO')=180o-60o=120o
½medida da correia=m(EA)+AB+m(BF)
m(EA)=½pi(4)²-m(AG)=½pi.16-120pi.4²/360=8pi-8/3.pi 16/3 pi
m(BF)=½pi.12²-m(BF)=½pi.144-60pi.12²/360=72pi-24pi=48 pi
Medida da correia=2(16pi/3+8R[3]+48pi)=(128pi+16R[3])cm
Solução do exercício 24
Seja a reta que passa por CO' paralela a reta tangente t. O triângulo OO'C é retângulo, pois o raio da circunferência é perpendicular a reta tangente t no ponto de tangência. Pelo teorema de Pitágoras, temos(CO')² = (OO')² - (OC)²
(CO')² = (13)² - 5² = 144
CO' = 12
Como CO'e AB são congruentes, então AB=12 cm.
Solução do exercício 24
Seja a reta que passa por CO' paralela a reta tangente t. O triângulo OO'C é retângulo, pois o raio da circunferência é perpendicular a reta tangente t no ponto de tangência. Pelo teorema de Pitágoras, temos(CO')² = (OO')² - (OC)²
(CO')² = (13)² - 5² = 144
CO' = 12
Como CO'e AB são congruentes, então AB=12 cm.
25- Área =pi r ao quadrado / 4 unidades quadradas
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