Estudar: maio 2013

sexta-feira, 31 de maio de 2013

Exercícios - Juros e Porcentagem

01. Numa cidade de 50000 habitantes, 42000 têm menos de 40 anos de idade. Qual é a porcentagem dos que têm 40 anos ou mais?

02. Quais são os juros simples produzidos por um capital de R$ 7200,00 empregados a 10% ao ano, durante 5 anos?

03. A que taxa anual foi empregado o capital de R$ 108.000,00 que, em 130 dias, rendeu juros simples de R$ 3.900,00?

04. Sabe-se que R$ 500,00 representam x% de R$ 2.500,00, que 12 gramas são y% de 96 gramas e que 1.200 m² equivalem a z% de 60km². Os valores de x, y e z são, respectivamente:

a) 10, 12; 2
b) 20, 12,5; 0,2
c) 20; 12,5; 0,002
d) 2; 12; 0,002
e) 20; 12; 0,002

05. Em uma promoção numa revenda da carros, está sendo dado um desconto de 18% para pagamento à vista. Se um carro é anunciado por R$ 16.000,00, então o preço para pagamento à vista desse carro será:

a) R$ 13.120,00
b) R$ 13.220,00
c) R$ 13.320,00
d) R$ 13.420,00
e) R$ 13.520,00

06. (PUC - RS) Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a:

a) 2
b) 5
c) 20
d) 40
e) 80

07. É correto afirmar que 5% de 8% de x é igual a:

a) 0,04% de x
b) 4% de x
c) 40% de x
d) 0,004% de x
e) 0,4% de x

08. (VUNESP) Uma mercadoria teve seu preço acrescido de 10%. Tempos depois, esse novo preço sofreu um desconto de 10%. Denotando-se por pi o preço inicial e por pf o preço final da mercadoria, tem-se:

a) pf = 101% pi
b) pf = pi
c) pf = 99,9% pi
d) pf = 99% pi
e) pf = 90% pi

09. Um vendedor ambulante vende vende seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, seu lucro sobre o preço de custo é de:

a) 10%
b) 25%
c) 33,333%
d) 100%
e) 120%

10. (UnB) Um capital aplicado, a juros simples, a uma taxa de 20% ao ano duplica em:

a) 24 anos
b) 6 anos
c) 12 anos
d) 10 anos
e) 5 anos

Resolução:

01. 16%

02. Os juros produzidos são de R$ 3600,00.

03. A taxa é de 10% ao ano.
04. C 05. A 06. C 07. E
08. D 09. D 10. E


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Exercicios - Progressão Aritmética

01. (FATES) Considere as seguintes seqüências de números:

I. 3, 7, 11, ...
II. 2, 6, 18, ...
III. 2, 5, 10, 17, ...

O número que continua cada uma das seqüências na ordem dada deve ser respectivamente:

a) 15, 36 e 24
b) 15, 54 e 24
c) 15, 54 e 26
d) 17, 54 e 26
e) 17, 72 e 26

02. (FEFISA) Se numa seqüência temos que f(1) = 3 e f(n + 1) = 2 . f(n) + 1, então o valor de f(4) é:

a) 4
b) 7
c) 15
d) 31
e) 42

03. Determinar o primeiro termo de uma progressão aritmética de razão -5 e décimo termo igual a 12.

04. Em uma progressão aritmética sabe-se que a4 = 12 e a9 = 27. Calcular a5.

05. Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2.

06. Determinar x tal que 2x - 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números em P. A. nesta ordem.

07. Em uma P. A. são dados a1 = 2, r = 3 e Sn = 57. Calcular an e n.

08. (OSEC) A soma dos dez primeiros termos de uma P. A. de primeiro termo 1,87 e de razão 0,004 é:

a) 18,88
b) 9,5644
c) 9,5674
d) 18,9
e) 21,3

09. (UNICID) A soma dos múltiplos de 5 entre 100 e 2000, isto é, 105 + 110 + 115 + ... + 1995, vale:

a) 5870
b) 12985
c) 2100 . 399
d) 2100 . 379
e) 1050 . 379

10. (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é dada por Sn = n² - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P. A vale:

a) 18
b) 90
c) 8
d) 100
e) 9

Resolução:

01. C

02. D
03. a1 = 57

04. a5 = 15

05. (2; 7; 12; 17; ...)

06. x = 4

07. n = 6 e a6 = 17

08. A

09. E

10. A

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Vídeo - Equação da circuferencia

Vídeo - Calculando probabilidade

Vídeo - Equação da reta

Exercicios - Função Polinomial do primeiro grau

01. (UNIFOR) A função f, do 1° grau, é definida por f(x) = 3x + k. O valor de k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

02. (EDSON QUEIROZ - CE) O gráfico abaixo representa a função de ℝ em ℝ dada por f(x) = ax + b (a, b Îℝ). De acordo com o gráfico conclui-se que:

a) a < 0 e b >0
b) a < 0 e b < 0
c) a > 0 e b > 0
d) a > 0 e b < 0
e) a > o e b = 0

Resolva, em R, as inequações de 03 a 05

03. 2x - 10 < 4

04. -3x + 5 ³ 2

05. -(x - 2) ³ 2 - x

Resolva, em R, as inequações de 06 a 08

06. x - 3 ³ 3 + x

07. -x + 1 £ x + 1

08. -x - 4 > -(4 -x)

09. (MACK) Em R, o produto das soluções da inequação 2x - 3 £ 3 é:

a) maior que 8
b) 6
c) 2
d) 1
e) 0

10. (UNICAMP) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e anota da terceira prova é multiplicada por 3. Os resultados após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por esse critério for maior ou igual a 6,5 o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda prova. Quanto precisará tirar na terceira prova para ser dispensado da recuperação?

Resolução:

01. E

02. A

03. V = (x Î R| x < 7)

04. V = (x Î R| x £ 1)

05. V = R

06. V = f

07. V = R

08. V = R*

09. E
10. No mínimo 7,9

Fonte: http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/funcao-polinomial-do-primeiro-grau

Exercicios - Matrizes

01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.

02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e A^t sua transposta, determine A, tal que A = 2 . A^t.

03. (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = A^T e é dita anti-simétrica se A^T = -A, onde A^T é a matriz transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações:

(01) A + A^T é uma matriz simétrica
(02) A - A^T é uma matriz anti-simétrica

04. Se uma matriz quadrada A é tal que A^t = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:

Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente:

a) -4, -2 e 4
b) 4, 2 e -4
c) 4, -2 e -4
d) 2, -4 e 2
e) 2, 2 e 4

a) x = y = 0
b) x = y = m = n = 0
c) x = y e m = n
d) y = -2x e n = -2m
e) x = -2y e m = -2n

06. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela:

	Camisa A	Camisa B	Camisa C
Botões p	3	1	3
Botões G	6	5	5

O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:

	Maio	Junho
Camisa A	100	50
Camisa B	50	100
Camisa C	50	50

Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho.

RESOLUÇÃO:

07. Sobre as sentenças:

I. O produto das matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma matriz 3 x 1.
II. O produto das matrizes A5 x 4 . B5 x 2 é uma matriz 4 x 2.
III. O produto das matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2

É verdade que:

a) somente I é falsa;
b) somente II é falsa;
c) somente III é falsa;
d) somente I e III são falsas;
e) I, II e III são falsas.

08. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:

a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.

a) 3
b) 14
c) 39
d) 84
e) 258

10. (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:

a) (A = B) . C = A . C + B . Cb) (A + B)^t = A^t + B^t

c) (A . B)^t = A^t . B^t

d) (A - B)C = AC - BC

e) (A^t)^t = A

Resolução:

01.

02.

03. (01) verdadeira
(02) verdadeira

04. B

05. E

06.

	Maio	Junho
Botões p	500	400
Botões G	1100	1050

07. B

08. C

09. D

10. C

Fonte: http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/matrizes

Exercícios - Análise Combinatória

Questões:

01. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?

a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16

02. (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?

a) 120
b) 72
c) 24
d) 18
e) 12

03. (MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado com uma única cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é:

a) 100
b) 240
c) 729
d) 2916
e) 5040

04. (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?

a) 861
b) 1722
c) 1764
d) 3444
e) 242

05. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O número de equipes de trabalho que poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é:

a) 240
b) 360
c) 480
d) 600
e) 720

06. (MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:

a) 83
b) 84
c) 85
d) 168
e) 169

07. (MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é:

a) 120
b) 108
c) 160
d) 140
e) 128

08. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?

a) 90
b) 21
c) 240
d) 38
e) 80

09. (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é:

a) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56

10. (MACK) Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
c) 122

Resolução:
01. C 02. C 03. D 04. B
05. E 06. E 07. A 08. A
09. E 10. C

Fonte: http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/analise-combinatoria

Exercícios de Frações

01 – Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias ?

02 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ?

03 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ?

04 – Distribuíram-se 3 1/2 quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu 1/4 de quilograma. Quantos eram os meninos ?

05 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários ?

06 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?

07 – Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu a cavalo ?

08 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ?

09 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ?

10 – Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ?

11 – A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ?

12 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número?

13 – A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 do terceiro. Calcular o produto destes três números.

14 – Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?

15 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ?

16 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse ?

17 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ?

18 – A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números.

19 – A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os.

20 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo?

21 – Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta 4/5 da terceira.

22 – Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto tenho ?

23 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ?

24 – Zé Augusto despendeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a metade mais R$ 4,30. Quanto possuía ?

25 – Repartir 153 cards em três montes de forma que o primeiro contenha 2/3 do segundo o qual deverá ter 3/4 do terceiro.

26 – Distribuir 3.717 tijolos por três depósitos de tal maneira que o primeiro tenha 3/4 do segundo e este 5/6 do terceiro.

27 – O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4ª série em três turmas de modo que a 1ª comporte a terça parte do efetivo; a 2ª, 6/5 da 1ª, menos 8 estudantes e a 3ª, 18/17 da 2ª. Quantos alunos haverá em cada turma ?

28 – Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia, menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 , mais R$ 30,00 e a terceira, R$ 160,00. Qual era a quantia ?

29 – Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo. Que número é esse?

30 – Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e ficaram 24 delas. Quantas eram as laranjas ?

31 – Marieta tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto. Com quanto ficou ?

32 – Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com 2/5 do que receber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira.

33 – Dividir R$ 480,00 por três pessoas, de modo que as partes da primeira e da segunda sejam, respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira

34 – Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou ?

35 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas ?

36 – Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo enchê-lo-ão ?

37 – Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas, em que tempo o reservatório ficará completamente cheio ?

38 – Uma torneira enche um depósito d’água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6 ?

39 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia ?

40 – Claudia fez 2/9 de um trabalho em 12 horas e Mariana, 4/7 do resto em 8 horas. Quantas horas levarão para fazer a mesma obra, se trabalharem juntas ?

41 – Taninha fez 2/5 de um bordado em 8 horas e Clarisse, 1/3 do resto em 6 horas. Em quanto tempo poderão concluí-lo, se trabalharem juntas ?

42 – Vó Marieta é capaz de fazer um bordado em 16 horas e tia Celeste, 5/7 do resto em 15 horas. Em quanto tempo aprontarão o bordado todo, se operarem juntas ?

43 – Roberval, um investidor no mercado de capitais, perdeu a quarta parte de um capital. Em outros negócios, ganhou o quíntuplo de R$ 30.000,00. Sendo a fortuna atual o dobro do capital inicial. Que capital era esse ?

44 – Um quitandeiro vendeu ao primeiro freguês 3/5 das melancias que tinha, mais quatro, e ao segundo, 1/3, também do total. Tendo o primeiro ficado com mais duas dúzias de melancias do que o outro, pergunta-se quantas melancias o comerciante possuía e com quantas ficou ?

45 – Andréa tem 2/9 do dinheiro necessário para comprar um apartamento, e seu marido, 3/11 dessa quantia. Se a essa importância o casal adicionar R$ 3.500,00 poderão comprar a casa própria. Qual é o preço do imóvel ? Quanto tem cada um deles ?

46 – Uma torneira enche um reservatório em 6 horas e outra, em 2 horas. Ambas, funcionando conjuntamente, em que tempo encherão o reservatório ?

47 – Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra o esvazia em dez horas. O tanque estando vazio e abrindo-se as duas torneiras, em que tempo ficará ele completamente cheio ?

48 – Silvana executa um bordado em nove horas de trabalho e Fernanda, em doze horas. Com auxílio de Eliane, aprontam-no em quatro horas. Calcular o tempo em que Eliane faria o mesmo bordado sozinha.

49 – Alfredo pode pintar uma casa em sete horas de trabalho e seu irmão, em cinco horas. Juntos, que fração do trabalho executarão em uma hora ? Em quanto tempo farão todo a pintura da casa ?

50 – Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos passageiros restantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio ?

51 – Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um terceiro. Calcular os três números sabendo que sua soma é igual a 500.

52 – Cuidadosamente, Severina, a empregada dos “Cavalcante” arruma uma bela cesta de maçãs. O patriarca ao ver as maçãs toma para si 1/6 das frutas, sua esposa pega 1/5 das restantes, o filho mais velho pega para si 1/4 do restante, o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 1/3 e 1/2 dos restantes. Quando Severina chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e decide pegar para si as 3 frutas restantes. Quantas eram as maçãs arrumadas originalmente por Severina ?

Resolução dos exercícios de frações

01) 18 garrafas
02) 30 cintos
03) 135
04) 14 meninos
05) 5.115
06) R$ 8.344,00
07) 165 km
08) 15
09) R$ 170,00
10)

11) 600 e 250
12) 189
13) 810
14) R$ 2.500,00
15) 48
16) 72
17) 128
18) 117 e 27
19) 180 e 165
20) R$ 1.722,00
21) R$ 397,50 , R$ 530,00 e R$ 662,50
22) R$ 165,00
23) R$ 139,50
24) R$ 34,40
25) 34 , 51 e 68
26) 945, 1260 e 1512
27) 35 , 34 e 36
28) R$ 600,00
29) 4.662
30) 108
31) R$ 128,00
32) R$ 66,00 , R$ 165,00 e R$ 440,00
33) R$ 75,00 , R$ 180,00 e R$ 225,00
34) R$ 136,00
35) 3/20
36) 1 horas e 12 minutos
37) 1/4 h ou 15 min
38) 1/6 h ou 10 min
39) 17/180
40) 13 h 30 min
41) 12 h
42)

h

43) R$ 120.000,00
44) 75 e 1
45) R$ 6.930,00, R$ 1.540,00 e R$ 1.890,00
46) 1h 30 min
47) 2 h 30 min
48) 18 horas
49) 12/35 e 2 h 55 min
50) 98
51) 160 , 100 e 240
52) 18 maçãs

Fonte: http://www.coladaweb.com/matematica/exercicios-de-fracoes

Vídeo - Gráfico da reta

fonte: http://www.telecurso.org.br/matematica/

Exercícios resolvidos de áreas de regiões circulares

1- Qual é o comprimento da circunferência de raio igual a:

a.r=5cm b.r=3,5cm c.r=3kcm d.r=a/2cm

2- Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?

3- Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de 66 metros.

4- Dado um quadrado de perímetro 4L, obter: (a) O raio da circunferência inscrita neste quadrado. e (b) O raio da circunferência circunscrita ao quadrado.

5- No R², uma circunferência tem centro no ponto (2,1) e passa pelo ponto (5,-3). Qual é o comprimento da circunferência?

5- Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio r ou o diâmetro d.a.r=3cm b.d=3kR[2]cm c.r=2R[3]cm d.d=9cm

6- Calcular a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm.

7- Se os perímetros de dois círculos são proporcionais à razão 2:3, qual é a razão entre as áreas desses círculos?

8- Qual é a área do círculo circunscrito em um triângulo equilátero cujo lado mede 18 cm?

9- Se a razão entre as áreas de dois círculos é 3:1, qual é a área do círculo menor se a área do círculo maior é 27pi cm²?

10-Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a metade de sua área removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta borda?

11- Um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm está inscrito em uma circunferência. Calcular a área da região externa ao triângulo que está dentro da circunferência.

12- Mostre que no hexágono regular o raio e o lado são congruentes, isto é, têm a mesma medida.

13- Considere um hexágono regular cuja área é 48R[3]cm². Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.

14- Dado um hexágono regular com área 48k²R[3]cm². Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.

15- As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Qual é a área do círculo inscrito neste losango?

16- Na figura ao lado, calcular a área e o perímetro do setor circular se o raio da circunferência mede 12cm e o arco 60 graus.

17- Dada uma circunferência cujo raio mede 6 cm, calcular: (a) A área do setor circular cujo arco A subjacente mede 120 graus e (b) A área do segmento circular cujo arco A mede 120 graus.

18- Seja um triângulo equilátero cujo lado mede 2a. Ao traçar arcos de circunferências de raio a, centrados nos três vértices do triângulo, obtemos a região colorida como a da figura ao lado. Calcular a área desta região.

19- Sobre cada cateto de um triângulo retângulo traçamos uma semicircunferência de acordo com a figura ao lado. Mostre que a soma das áreas das lúnulas (pintadas de azul e verde) é igual a área do triângulo.

20- Semicircunferências são traçados sobre os lados de um quadrado cujo lado mede 10 cm. Calcular a área das quatro pétalas pintadas na figura ao lado.

21- Semicircunferências são traçados sobre dois lados de um quadrado cujo lado mede 6 cm. Calcular a área da região pintada na figura ao lado.

22- Dois círculos cujos raios medem 4 cm e 12 cm, estão lado a lado, como mostra a figura. Qual é a medida da menor correia de couro que contorna os dois círculos?

23- Duas circunferências de centros O e O' têm raios medindo 3 cm e 2 cm, respectivamente, e a medida m(OO')=13 cm. Se a reta t é uma tangente comum às duas circunferências nos pontos A e B, calcular a medida do segmento AB.

24- Calcular a área da região colorida, sabendo-se que cada semicírculo possui o diâmetro igual ao raio do círculo imediatamente maior

Respostas:

Solução do exercício 1

raio= 5 cm, comprimento = 10 pi cm

raio= 7/2 cm, comprimento = 7 pi cm

raio= 3k cm, comprimento = 6k pi cm

raio= a/2 cm, comprimento = a pi cm

2- 96 pi metros

3- r= 5,5 pi metros

Solução do exercício 4

(a) O lado do quadado mede L e o raio da circunferência inscrita é a metade do lado, isto é r=L/2.
(b) O raio da circunferência circunscrita é a metade da diagonal do quadrado de lado L;

r²=2(L/2)²=L²/2

r=L R[2]/2

Solução do exercício 5

O raio da circunferência é a distância entre o centro (2,1) e o ponto (5,-3). Pelo teorema de Pitágoras temos:

r²=(5-2)²+(-3-1)²=9+16=25

r=5

O comprimento da circunferência é 2×5×pi=10 pi unidades

Solução do exercício 6

r=3 cm, A=9 pi cm²

d=3k R[2] cm, A=½×9×k² pi cm²

r=2R[3] cm, A=12 pi cm²

d=a/2 cm, A=81/4 pi cm²

Solução do exercício 7

Na figura a região está pintada de verde e sua área é a área do círculo maior menos a área do círculo menor.

Área=pi(R²-r²)=pi(100-36)=64 pi cm²

8- A razão é 4:9

Solução do exercício 9

Na figura ao lado, seja a o apótema, r o raio e h a altura do triângulo então, h=a+r.

18²=h²+9²

h=R[324-81]=R[243]=9 R[3]

Por outro lado, r²=9²+(h-r)²=81+h²-2hr+r²

81+243-2×9 R[3]×r=0

r=18/R[3]

Área do círculo = pi×r²=108 pi cm²

10- 3 cm quadrados

11- Largura =(6-3R[2]) metros

Solução do exercício 12

A área da região é a área do círculo menos a área do triângulo (região rosa). Se a é o apótema, r é o raio e h é a altura do triângulo, então h=a+r. Assim: 6²=h²+3²

h=R[36-9]=R[27]=3 R[3]

r²=3²+(h-r)²

9+27-2×3×R[3]×r=0

r=6/R[3]

Área do círculo = pi r²=12 pi cm²

Área do triângulo = 6×h/2=6.3 R[3]/2 = 9 R[3] cm²

Área do círculo - Área do triângulo = (12 pi - 9 R[3]) cm²

13- Dividir o hexágono em 6 com o vértices no centro e mostra que eles são equilátero.

Solução do exercício 14

O círculo inscrito ao hexágono tem raio igual ao seu apótema (a). O círculo circunscrito ao hexágono tem raio igual ao seu raio (r).

Sejam A1 e A2 as áreas dos círculos inscrito e circunscrito respectivamente, a razão entre estas áreas é dada por: A1/A2=pi a²/pi r²=a²/r².

A área do hexágono é dada por: A=3×a×L=48 R[3]

Assim o apótema é dado por a=48R[3]/3L. Mas o apótema do hexágono é a altura do triângulo equilátero, deste modo,

a=½×L×R[3]=48R[3]/3L=½×L×R[3]

L²=(2/3)48

L=4 R[2] cm

No hexágono regular L=r. Logo, a razão entre as áreas é:

A1/A2=a²/r²=((1/2).r.R[3]/r)²=(R[3]/2)²=3/4

15- A razão entre as áreas são 3/4

16- As áreas são 11,84 cm quadrados

Solução do exercício 17
Seja A a área e P o perímetro do setor circular, então

A=m(AB)×pi×r²/360=60×pi×12²/360=24 pi cm²

P=m(AB)×2pi×r/360+2r=60×2pi×12/360+24=(4pi+24)cm

Solução do exercício 18

(a) A área do setor circular é dado por

Área do setor=m(A)×pi×r²/360=120×pi×6²/360=12pi cm²

(b) A área do segmento é dada pela área do setor menos a área do triângulo

Área do triângulo=6 R[3] 3/2=9 R[3] cm²

Área do segmento=(12 pi - 9 R[3]) cm²

Solução do exercício 19

A área desejada é a área do triângulo menos a soma das áreas dos três setores circulares.

Se 2a é a medida do lado do triângulo, então;

Área do triângulo=(2a)²R[3]/4=a²R[3] u.a.

Área do setor circular=60.pi.(a)²/360=pi.a²/6 u.a.

Área desejada=a²R[3] - 3.pi.a²/6=a²(R[3] - pi/2) u.a.

Solução do exercício 20

Sejam a e b os catetos e c a hipotenusa do triângulo.

Sejam Sa, Sb e Sc os semicírculos de raios a/2, b/2 e c/2 respectivamente e seja T o triângulo.

Soma das áreas brancas=área(Sc)-área(T)

Áreas das lúnulas=área(Sa)+área(Sb)-Soma das áreas brancas.

Áreas das lúnulas=área(Sa)+área(Sb)-área(Sc)+área(T)

Área(Sc)=pi.(c/2)²/2=pi(a²+b²)/8

Área(T)=a.b/2

Soma das áreas brancas=pi(a²+b²)/8-a.b/2

Área(Sa)=pi(a/2)²/2=pi.a²/8

Área(Sb)=pi(b/2)²/2=pi.b²/8

Áreas das lúnulas = pi(a²+b²)/8-(pi(a²+b²)/8-a.b/2)=a.b/2

A soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo.

Solução do exercício 21

A soma das áreas dos quatro semicírculos é a área do quadrado mais a área das quatro pétalas, então a área desejada é a diferença entre a soma das áreas dos quatro semicírculos e a área do quadrado.

Área semicírculo=(1/2)pi(10/2)²=12,5.pi cm²

Área quadrado=(10)²=100 cm²

A área desejada é a Área do semicírculo menos a Área quadrado, assim

Área desejada=(4(12,5 pi)-100=(50pi-100) cm²

Solução do exercício 21

A soma das áreas dos quatro semicírculos é a área do quadrado mais a área das quatro pétalas, então a área desejada é a diferença entre a soma das áreas dos quatro semicírculos e a área do quadrado.

Área semicírculo=(1/2)pi(10/2)²=12,5.pi cm²

Área quadrado=(10)²=100 cm²

A área desejada é a Área do semicírculo menos a Área quadrado, assim

Área desejada=(4(12,5 pi)-100=(50pi-100) cm²

22- Área = 27 - 4,5 pi cm quadrado

Solução do exercício 23
Devemos obter a medida do segmento AB e as medidas dos ângulos BED e ADE. Dessa forma: DE=12+4=16cm e CE=12-4=8cm. Como m(AB)=m(DC) e o triângulo retângulo DCE tem ângulo reto em C, temos que:

(DC)²=(DE)²-(CE)²

m(OC)=R[256-64]=8 R[3]

ângulo(BO'O)=arccos(8/16)=arccos(1/2)=60o

ângulo(BO'O)+ângulo(AOO')=180o

ângulo(AOO')=180o-60o=120o

½medida da correia=m(EA)+AB+m(BF)

m(EA)=½pi(4)²-m(AG)=½pi.16-120pi.4²/360=8pi-8/3.pi 16/3 pi

m(BF)=½pi.12²-m(BF)=½pi.144-60pi.12²/360=72pi-24pi=48 pi

Medida da correia=2(16pi/3+8R[3]+48pi)=(128pi+16R[3])cm

Solução do exercício 24

Seja a reta que passa por CO' paralela a reta tangente t. O triângulo OO'C é retângulo, pois o raio da circunferência é perpendicular a reta tangente t no ponto de tangência. Pelo teorema de Pitágoras, temos

(CO')² = (OO')² - (OC)²

(CO')² = (13)² - 5² = 144

CO' = 12

Como CO'e AB são congruentes, então AB=12 cm.

Solução do exercício 24

Seja a reta que passa por CO' paralela a reta tangente t. O triângulo OO'C é retângulo, pois o raio da circunferência é perpendicular a reta tangente t no ponto de tangência. Pelo teorema de Pitágoras, temos

(CO')² = (OO')² - (OC)²

(CO')² = (13)² - 5² = 144

CO' = 12

Como CO'e AB são congruentes, então AB=12 cm.

25- Área =pi r ao quadrado / 4 unidades quadradas

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-areas/geom-areas-circ-a.htm